توان آماری و حجم نمونه

دو خطا

خطای نوع اول. رد کردن $H_0$ در حالی که درست است. نمونه‌ها از جمعیتی با میانگین‌های یکسان آمده‌اند، اما شما نتیجه می‌گیرید که آن‌ها متفاوت هستند. احتمال آن $\alpha$ است که معمولاً روی 0.05 ثابت می‌شود.

نوع خطای II. در رد $H_0$ وقتی که نادرست است، شکست خورده است. نمونه‌ها از جمعیتی با میانگین‌های متفاوت آمده‌اند، اما شواهد شما برای تشخیص این موضوع بسیار ضعیف است. احتمال آن $\beta$ است.

توانایی آماری $1 - \beta$ است: احتمال تشخیص یک تفاوت واقعی در صورت وجود آن.

قدرت به سه چیز بستگی دارد:

1. اندازه اختلاف حقیقی
2. تغییرپذیری مشاهدات
3. اندازه نمونه‌ها

فقط مورد سوم تحت کنترل شماست، به همین دلیل محاسبه حجم نمونه جایی است که دو مورد دیگر جدی گرفته می‌شوند.

توانایی دیدن

دو توزیع را روی یک محور $\mu_2 - \mu_1$ تصور کنید.

تحت $H_0$، توزیع نمونه‌برداری اختلاف حول صفر متمرکز است. شما زمانی اختلاف مشاهده‌شده را رد می‌کنید که از مقادیر بحرانی فراتر رود، که $\alpha/2$ را در هر دم قطع می‌کنند.

حال فرض کنید اختلاف واقعی $\delta = 5$ است، در حالی که $\sigma = 12$ و $n = 20$ به ترتیب در هر گروه قرار دارند. توزیع نمونه‌گیری واقعی حول 5 متمرکز است، نه 0. توان، نسبت بخش جابه‌شده آن توزیع است که فراتر از مقدار بحرانی قرار دارد.

با آن اعداد، خطای استاندارد اختلاف عبارت است از:

$SE = \sigma\sqrt{\frac{2}{n}} = 12\sqrt{\frac{2}{20}} = 12 \times 0.3162 = 3.79$

$\text{power} = P\left(Z > 1.96 - \frac{\delta}{SE}\right) = P(Z > 1.96 - 1.32) = P(Z > 0.64) = 0.26$

power.t.test(n = 20, delta = 5, sd = 12)
#   power = 0.25

توان حدود 25%. یک کارآزمایی با 20 بیمار در هر گروه که به دنبال تفاوت 5 میلی‌متر جیوه‌ای در یک معیار با SD 12 است، سه مورد از هر چهار مورد احتمال دارد اثر واقعی را از دست بدهد. با این حال، کارآزمایی‌هایی با این حجم به طور مداوم منتشر می‌شوند و نتایج بی‌اهمیت آن‌ها به‌طور معمول به‌عنوان شواهدی برای عدم تفاوت گزارش می‌شوند.

به همین دلیل فاصله اطمینان در یک مطالعه کوچک اهمیت بیشتری نسبت به مقدار p دارد: بازه نشان می‌دهد چه مقدار هنوز با داده‌ها سازگار است، در حالی که مقدار p تنها می‌گوید مطالعه نتوانسته آن را مشخص کند.

اندازه نمونه برای دو میانگین مستقل

چهار کمیت به هم مرتبط هستند و مشخص کردن هر سه کمیت دیگر، کمیت چهارم را تعیین می‌کند:

1. $\alpha$، نرخ خطای نوع I
2. $1 - \beta$، قدرت
3. $\delta$، کوچک‌ترین اختلاف حقیقی قابل تشخیص
4. $n$، اندازه نمونه در هر گروه

(به‌علاوه $\sigma$، تغییرپذیری که یک ورودی است نه یک انتخاب.)

فرمول

با فرض یکسان بودن $n$ در هر گروه و واریانس‌های یکسان:

$n = \frac{2\sigma^2 (Z_{1-\alpha/2} + Z_{1-\beta})^2}{\delta^2}$

با دست انجام شد

• واریانس‌های مساوی، $\sigma^2 = 12^2 = 144$
• کوچک‌ترین اختلاف واقعی قابل تشخیص، $\delta = 5$
• $\alpha = 0.05$ و $1 - \beta = 0.80$ را تعمیر کنید
• $Z_{1-\alpha/2} = Z_{0.975} = 1.96$ و $Z_{1-\beta} = Z_{0.80} = 0.84$

$n = \frac{2 \times 144 \times (1.96 + 0.84)^2}{5^2} = \frac{288 \times 7.84}{25} = \frac{2257.9}{25} = 90.3$

91 نفر برای هر گروه، با گرد کردن به بالا.

در R

# by formula
2 * 12^2 * (qnorm(0.975) + qnorm(0.80))^2 / 5^2    # 90.4

# exact, accounting for the t-distribution
power.t.test(delta = 5, sd = 12, power = 0.80)
#   n = 91.4 per group

این فرمول از کوانتیل‌های نرمال استفاده می‌کند و در نتیجه کمی کم‌برآورد می‌کند؛ محاسبهٔ دقیق با استفاده از توزیع t عدد 91.4 را می‌دهد، بنابراین 92 برای هر گروه. این اختلاف در اینجا ناچیز است و با کاهش $n$ افزایش می‌یابد.

این را با 20 نفر در هر گروه در بالا مقایسه کنید. افزایش از 25% توان به 80% توان به تقریباً چهار و نیم برابر شرکت‌کننده نیاز داشت.

هر ورودی چگونه پاسخ را تغییر می‌دهد

فرمول حساسیت‌ها را قابل مشاهده می‌کند و آن‌ها متقارن نیستند.

اندازه اثر، $\delta$: به توان دو و در مخرج ظاهر می‌شود. نصف کردن تفاوتی که می‌خواهید آشکار کنید، حجم نمونه لازم را چهار برابر می‌کند.

for (d in c(10, 7.5, 5, 2.5)) {
  cat("delta =", d, " n per group =",
      ceiling(power.t.test(delta = d, sd = 12, power = .8)$n), "\n")
}
# delta = 10   n per group = 24
# delta = 7.5  n per group = 42
# delta = 5    n per group = 92
# delta = 2.5  n per group = 363

تغییرپذیری، $\sigma$: در مخرج ظاهر می‌شود. دو برابر کردن انحراف معیار، حجم نمونه را چهار برابر می‌کند. به همین دلیل کاهش خطای اندازه‌گیری یا استفاده از دستگاه دقیق‌تر اغلب ارزان‌تر از جذب بیماران بیشتر است.

توان: افزایش از 80% به 90%، $n$ را تقریباً 1.34 برابر می‌کند؛ افزایش به 95%، آن را تقریباً 1.65 برابر می‌کند.

آلفا: حرکت از 0.05 به 0.01، $n$ را تقریباً 1.5 برابر می‌کند.

sapply(c(.80, .90, .95), function(p) ceiling(power.t.test(delta=5, sd=12, power=p)$n))
# 92 123 151

پیامد عملی: اندازه اثر ورودی‌ای است که بر همه ورودی‌ها غلبه می‌کند و همچنین ورودی‌ای است که اغلب با نیت فریب انتخاب می‌شود. تعیین مقدار بزرگ $\delta$ یک مطالعه را روی کاغذ امکان‌پذیر می‌سازد و تضمین می‌کند که برای اثری که واقعاً وجود دارد، قدرت آماری آن ناکافی باشد.

انتخاب صادقانه $\delta$

$\delta$ باید کوچک‌ترین تفاوتی باشد که اهمیت دارد، نه تفاوتی که امید دارید بیابید و نه تفاوتی که حساب را به حجم نمونه‌ای می‌رساند که از پس هزینه‌اش برمی‌آیید.

منابع آن، به ترتیب تقریبی اولویت:

1. حداقل اختلاف مهم برای معیار نتیجه، که به‌طور تجربی از بیماران تعیین شده است (به نتایج و واحد اندازه‌گیری دوره مبانی مراجعه کنید).
2. کوچک‌ترین تفاوتی که یک تصمیم بالینی را تغییر می‌دهد.
3. یک اثر محتمل از مطالعات پیشین، با در نظر گرفتن این واقعیت که نتایج منتشرشده تحت تأثیر سوگیری انتشار و نفرین برنده در مطالعات کوچک قرار دارند.

آخرین نکته شایسته توجه است. برآورد اثر $\delta$ بر اساس یک برآورد اثر منتشرشده قبلی، به‌ویژه اگر آن برآورد کوچک اما معنادار باشد، به‌طور سیستماتیک آن را بیش‌برآورد می‌کند، زیرا مطالعات کوچک تنها زمانی به معناداری می‌رسند که اثر مشاهده‌شده بزرگ باشد. تعیین قدرت یک مطالعه جدید بر اساس آن عدد، تضمین‌کننده کمبود قدرت است.

منابع برای $\sigma$: یک مطالعه مقدماتی، ادبیات پیشین یا داده‌های روتین. برآوردهای مقدماتی ناپایدار هستند، بنابراین اتخاذ یک مقدار محافظه‌کارانه (بزرگ‌تر) عاقلانه است.

قدرت پسینی

پس از آنکه یک مطالعه $p > 0.05$ را کشف می‌کند، معمولاً قدرت مطالعه برای شناسایی اثری که مشاهده کرده است را محاسبه می‌کنند و آن را به‌عنوان شواهدی درباره معناداری نتیجه عدم‌یافتن اثر گزارش می‌کنند.

این بی‌اطلاعات است و به‌دلیل خاصی بی‌اطلاعات است: قدرت مشاهده‌شده تابعی قطعی از مقدار p است. مطالعه‌ای با $p = 0.06$ همیشه قدرت مشاهده‌شده متوسط دارد؛ مطالعه‌ای با $p = 0.60$ همیشه قدرت مشاهده‌شده کم دارد. این محاسبه چیزی به آنچه مقدار p قبلاً به شما گفته است اضافه نمی‌کند و نمی‌تواند بین «عدم وجود اثر» و «کوچک بودن مطالعه» تمایز قائل شود.

به جای آن چه گزارش کنیم: فاصله اطمینان. این همان پرسشی را پاسخ می‌دهد که مردم واقعاً می‌پرسند. اگر فاصله اطمینان 95% برای یک تفاوت (−1.2، 1.5) باشد و کمترین تفاوت مهم 5 باشد، مطالعه به شکلی معنادار یک اثر مهم را کنار گذاشته است. اگر فاصله (−15، 20) باشد، هیچ چیزی را کنار نگذاشته است.

محاسبات توان پیش‌بینانه که پیش از مطالعه انجام می‌شوند، ضروری هستند. محاسبات توان گذشته‌نگر که بر اساس اثر مشاهده‌شده انجام می‌شوند، ضروری نیستند.

تنظیمات عملی

فرمول تعداد شرکت‌کنندگانی را که برای به‌دست‌آوردن داده‌های قابل‌تحلیل نیاز دارید، مشخص می‌کند. چندین تعدیل بین آن و تعداد افرادی که باید جذب کنید، اعمال می‌شود.

از دست دادن. اگر انتظار دارید که نسبت $L$ در پیگیری از دست برود:

$n_{\text{recruit}} = \frac{n_{\text{required}}}{1 - L}$

برای 91 در هر گروه با 15% زیان مورد انتظار: $91 / 0.85 = 108$ در هر گروه.

تخصیص نابرابر. اگر تخصیص را به نسبت $k:1$ انجام دهیم، حجم کل نمونه باید افزایش یابد. زیان کارایی تا نسبت تقریباً 2:1 اندک است و پس از آن به‌سرعت افزایش می‌یابد. تخصیص نابرابر به دلایلی غیر از کارایی انتخاب می‌شود: کسب تجربه بیشتر با یک درمان جدید یا ترجیحات اخلاقی.

خوشه‌بندی. اگر به جای افراد، خوشه‌ها را تصادفی‌سازی می‌کنید، حجم نمونه را در اثر طرح ضرب کنید:

$\text{DE} = 1 + (m - 1)\rho$

که در آن $m$ میانگین اندازه خوشه و $\rho$ ضریب همبستگی درون‌خوشه‌ای است. با خوشه‌هایی متشکل از 20 شرکت‌کننده و $\rho = 0.05$، اثر طراحی برابر $1 + 19 \times 0.05 = 1.95$ است: تقریباً دو برابر شرکت‌کننده برای همان توان آماری. ضریب‌های همبستگی درون‌خوشه‌ای کوچک وقتی خوشه‌ها بزرگ هستند، اثر طراحی را به‌طور چشمگیری افزایش می‌دهند که معمولاً افراد را شگفت‌زده می‌کند.

مقایسه‌های چندگانه. اگر چندین نتیجهٔ اولیه را با $\alpha$ تصحیح‌شده آزمون کنید، حجم نمونه باید متناسباً افزایش یابد.

آزمون‌های غیرپارامتریک. این آزمون‌ها زمانی که فرضیات پارامتریک برقرار باشند، اندکی کمتر از همتایان پارامتریک خود کارآمد هستند. یک تعدیل رایج افزودن حدود 15% است.

سایر محاسبات رایج

# Two proportions
power.prop.test(p1 = 0.30, p2 = 0.20, power = 0.80)
#   n = 294 per group

# Paired means: use the SD of the DIFFERENCES, not of the observations
power.t.test(delta = 5, sd = 4.6, power = 0.80, type = "paired")
#   n = 9 pairs

# One-sample
power.t.test(delta = 5, sd = 12, power = 0.80, type = "one.sample")

ارزش دارد که روی مثال جفتی مکث کنیم. با استفاده از $S_d = 4.6$ از داده‌های پیشگیری از بارداری خوراکی واحد قبلی، برای دستیابی به توان 80% تنها به 9 جفت نیاز است، در حالی که در طرح مستقل به 92 جفت در هر گروه نیاز است. اثر طراحی جفت‌سازی بسیار بزرگ است و کاملاً از همبستگی درون‌جفتی ناشی می‌شود.

رایج‌ترین خطا در محاسبه حجم نمونه برای طرح جفتی، استفاده از SD مشاهدات به‌جای SD اختلافات است. این کار حجم نمونه مورد نیاز را به میزان $1/(1-\rho)$ بزرگ‌نمایی می‌کند و مزیتی را که این طرح را توجیه کرده بود، از بین می‌برد.

گزارش محاسبه اندازه نمونه

تمام آن را بیان کنید تا خواننده بتواند عدد را بازتولید کند:

• نتیجهٔ اصلی که محاسبه بر اساس آن انجام می‌شود
• اندازه اثر و توجیه آن
• برآورد تغییرپذیری و منبع آن
• $\alpha$، چه یک‌طرفه و چه دوطرفه، و توان
• آزمون آماری فرض‌شده
• کاهش پیش‌بینی‌شده و هرگونه تورم اعمال‌شده
• اثر طراحی برای طرح‌های خوشه‌ای
• اندازه نمونه حاصل

محاسبه‌ای که گزارش شده «نمونه‌ای با 200 نمونه، قدرت 80% دارد» قابل تکرار نیست و نباید پذیرفته شود.

درک خود را بررسی کنید

1. اندازه نمونه مورد نیاز برای هر گروه را به‌صورت دستی محاسبه کنید تا بتوان تفاوت 3 واحدی در یک نتیجه با SD 8 را با توان 90% و آزمون دوطرفه $\alpha = 0.05$ تشخیص داد. در R تأیید کنید.
2. محاسبه شما در پرسش اول عددی را نشان می‌دهد که از عهده‌اش برنمی‌آیید. سه روش قانونی برای کاهش آن و یک روش غیرقانونی را فهرست کنید و بگویید هر کدام چه هزینه‌ای دارد.
3. یک کارآزمایی با 40 بیمار در هر گروه گزارش می‌دهد «تفاوت معناداری وجود ندارد (p = 0.31)» و نتیجه می‌گیرد که درمان‌ها معادل هستند. توضیح دهید این نتیجه‌گیری چه اشکالی دارد و بگویید به جای آن چه چیزی باید مشاهده شود.
4. یک کارآزمایی تصادفی‌شده‌شده‌شده‌شده‌شده خوشه‌ای با 12 خوشه و 30 شرکت‌کننده در هر خوشه و ضریب طراحی ICC برابر 0.03 برنامه‌ریزی شده است. ضریب طراحی و حجم نمونه مؤثر را محاسبه کنید. درباره اینکه آیا 12 خوشه از نظر دلایلی فراتر از حجم نمونه کافی است یا خیر، توضیح دهید.
5. توضیح دهید چرا قدرت مشاهده‌شده (پسینی) هیچ اطلاعاتی فراتر از مقدار p ارائه نمی‌دهد و شرح دهید خواننده پس از مشاهده نتیجه بی‌معنی واقعاً چه می‌خواهد بداند.
6. یک پژوهشگر مطالعه‌ای را با اندازه اثر استخراج‌شده از یک کارآزمایی کوچک منتشرشده با p = 0.04 اجرا می‌کند. توضیح دهید چرا مطالعه جدید احتمالاً کم‌توان خواهد بود، حتی اگر محاسبات به‌درستی انجام شده باشد.

مطالعه بیشتر

• Rosner B. Fundamentals of Biostatistics. 8th ed. Chapter 8.
• Hoenig JM, Heisey DM. The abuse of power: the pervasive fallacy of power calculations for data analysis. Am Stat. 2001;55(1):19-24.
• Button KS, Ioannidis JPA, Mokrysz C, et al. Power failure: why small sample size undermines the reliability of neuroscience. Nat Rev Neurosci. 2013;14(5):365-376.
• Schulz KF, Grimes DA. Sample size calculations in randomised trials: mandatory and mystical. Lancet. 2005;365(9467):1348-1353.